Ecuaciones protoplanetarias: ¿cómo evolucionan los discos? (1/7)

Hace un tiempo leí un excelente libro titulado las 17 ecuaciones que cambiaron el mundo de Ian Steward. En él, el autor presentaba de manera subjetiva (pero acertada a mi juicio) las ecuaciones más importantes de la Humanidad y que han desencadenado verdaderas revoluciones científicas y tecnológicas. Decidí hacer un ejercicio similar, pero en el campo de la formación planetaria. Presentaré 7 ecuaciones que (creo yo) contienen la esencia de los mecanismos ligados a la formación de los planetas. Por favor no teman las "terribles" ecuaciones a continuación, no muerden y tienen mucho por decir :-)

La primera ecuación dicta la evolución dinámica de los discos protoplanetarios. Entender este aspecto es fundamental para investigar dónde y cuándo se forman los planetas en estos sistemas. Por "disco" se entiende una estructura que gira alrededor de un objeto masivo como una estrella y que es simétrica con respecto a su eje de rotación. Dado que las velocidades de las partes internas de estos discos son más elevadas que las de las partes externas, su rotación no es como la de un objeto rígido (rueda de bicicleta por ejemplo). Esto se debe a que se trata de un fluido deformable que está sometido a la fuerza de gravedad de la estrella, cuya intensidad disminuye con la distancia al cuadrado*, y a su propia presión. Estos discos son llamados "protoplanetarios" ya que es donde se forman los embriones planetarios antes de convertirse en planetas.

En este caso consideramos un disco mucho más extendido radialmente (tomando como referencia la estrella) en comparación con su altura o extensión vertical. Podemos entonces considerar que se trata de un disco fino, como un disco de vinilo por ejemplo. Por lo tanto, en vez de calcular la evolución de su densidad de volumen (en 3D), calculamos cómo cambia la densidad de superficie (en 2D). Si la rotación del disco es Kelperiana, o sea que verifica la tercera ley de Kepler**, entonces la ecuación de evolución del disco se puede escribir del modo siguiente:


\Sigma es justamente la densidad de superficie del disco en kg/m^2; t es el tiempo; y r es la coordenanda radial, o sea la distancia con respecto al centro de la estrella. Finalmente, \nu es la viscosidad del fluido y es el ingrediente responsable de la disipación de energía en el fluido. De un modo figurado, se la puede asociar a la consistencia espesa del disco y a la resistencia que opone a ser deformado. Piensen en las diferencias que hay entre el aceite de motor y el agua. Ambos son fluidos pero el aceite es mucho más viscoso. Los símbolos raros (d/dt y d/dr) son derivadas parciales y miden variaciones con respecto al tiempo y al espacio. Por un lado, el término de la izquierda describe cómo cambia \Sigma con el tiempo. Por otro lado, el abominable término de la derecha contiene variaciones espaciales (con respecto a r) de \Sigma y \nu. Dado que están relacionadas con un signo "=", esto significa que la ecuación nos dice cómo evoluciona la densidad del disco en función de las variaciones espaciales de densidad y viscosidad que hay en el sistema. ¡Notable!

Esta maravillosa ecuación fue propuesta por Lynden-Bell & Pringle en 1974 y contiene en ella casi todos los secretos de la evolución de los discos***. Sin embargo, es difícil de resolver (no siempre se puede...) y no es fácil identificar toda la física que contiene. Por lo tanto, conviene "masajear" algebraicamente esta ecuación para entender mejor su significado. Un simple cambio de variables permite escribirla de una forma mucho más familiar. Si suponemos que  \nu es constante y definimos dos nuevas cantidades  (X = 2 r^{1/2} y f = 3/2 \Sigma X), entonces se obtiene la ecuación siguiente:


Esta es la famosa ecuación de difusión que describe cómo se propaga el calor dentro de un material o como se diluye una mancha de tinta en una bañadera por dar sólo 2 ejemplos. Pero, ¿qué es lo que se propaga en el disco? Es una cantidad un poco abstracta llamada "momento angular" y que de cierto modo dice cómo está distribuida la materia y la energía en el sistema.

Lo potente de esta ecuación, es que nos permite calcular una escala de evolución temporal de los discos (igual a r^2 divido por \nu). Básicamente esto es cuánto tiempo tarda en disiparse el disco. Luego, observando diferentes discos y midiendo sus estados evolutivos, se puede obtener el valor de la viscosidad en ellos. De ese modo se puede estimar lo eficiente que es la difusión del momento angular en los discos. Lo curioso es que, haciendo este ejercicio, resulta que la viscosidad es mucho más elevada de lo que uno esperaría en un gas dando simplemente vueltas alrededor de una estrella. En otras palabras, la viscosidad de las moléculas de gas no basta para entender por qué los discos evolucionan en tan sólo algunos millones de años. Esto es un indicio de que en el disco ocurren procesos físicos mucho más complejos que necesitan ser explorados y estudiados. No entraré en detalles sofisticados pero se piensa que efectos magnéticos e hidrodinámicos pueden ser los responsables de este fenómeno. En definitiva, la ecuación de evolución de discos no ha revelado todos sus secretos aún. La formación planetaria sigue siendo un misterio...

¡Saludos difusivos!

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Notas:
* F = G M1 M2 / r^2
** 3ra ley de Kepler: el período orbital al cuadrado de un cuerpo en rotación alrededor de la estrella es proporcional al cubo de la distancia a la estrella.
*** En realidad esta ecuación se deriva de otras dos ecuaciones muy importantes: la de la continuidad y la de la conservación del momento cinético. Sería un poco abrumador explicar ambas en detalle en esta nota. Si tienen preguntas o quejas no dudan en escribirme.

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